Ginevra scrive: Matematica

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Oggetto: Matematica

Corpo del messaggio:

20150827_174148

 

Risposta dello staff

f(x)= \begin{cases} \frac 12-x \, \, \, \mbox{ se } \, \, \, x \leq -\frac 12 \\ e^{x^2-\frac{1}{4}} \, \, \, \mbox{ se } \, \, \, x > -\frac 12 \end{cases}

Dalla definizione della funzione ci accorgiamo che il dominio è tutto \mathbb{R}

Studiamo quindi la positività:

f(x)>0

Sicuramente sarà positiva per x >-\frac 12, essendo formata da una funzione esponenziale.

studiamo invece nel resto del dominio:

\frac 12-x >0

x<\frac 12

Unendo le due soluzioni, avremo:

f(x) >0 \forall x \in \mathbb{R}

Studiamo la continuità nei punti di contatto delle due funzioni:

    \[\lim_{x \to -\left(\frac 12\right) ^-} f(x)= 1\]

    \[\lim_{x \to -\left(\frac 12\right) ^+} f(x)=1\]

Quindi avremo che la funzione in -\frac 12 è continua.

    \[\lim_{x \to \pm \infty} f(x)=\infty\]

Studiamo la derivata prima:

f'(x)= \begin{cases}-1 \, \, \, \mbox{ se } \, \, \, x \leq -\frac 12 \\ 2x e^{x^2-\frac{1}{4}}\, \, \, \mbox{ se } \, \, \, x > -\frac 12 \end{cases}

Da qui notiamo che:

f'(x)<0 \iff x\leq-\frac 12

f'(x) <0 \iff -\frac 12 < x <0

f'(x) =0 \iff x =0

f'(x) >0 \iff x >0

Anche se nel grafico sembra, questa funzione non tocca mai l’asse delle x.

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