Esercizio 18 Disequazioni irrazionali contenenti radicali cubici

Traccia

\sqrt[3]{\frac{1-x}{1+x^2}}+1>0

Svolgimento

\sqrt[3]{\frac{1-x}{1+x^2}}>-1

Essendo una disequazione dove l’indice della radice è dispari, basterà semplicemente elevare ambo i membri alla stessa potenza e risolvere la disequazione.

(\sqrt[3]{\frac{1-x}{1+x^2}})^3>-(1)^3

\frac{1-x}{x^2+1}>-1

\frac{1-x}{x^2+1}+1>0

\frac{1-x+x^2+1}{x^2+1}>0

\frac{x^2-x+2}{x^2+1}>0

Analizziamo separatamente numeratore e denominatore:

  • x^2-x+2 >0

Bisogna prima di tutto calcolare il \Delta:

\Delta= 1-8=-7.

Andando a vedere la tabella in

Disequazioni di secondo grado

vedremo che questa disequazione è verificata per

\forall x \in R

  • x^2 +1 >0

Bisogna prima di tutto calcolare il \Delta:

\Delta= 0-4=-4.

Andando a vedere la tabella in

Disequazioni di secondo grado

vedremo che questa disequazione è verificata per

\forall x \in R

Quindi, senza bisogno di far grafici, questa disequazione è verificata

\forall x \in R.

 

 

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