Esercizio 20 Disequazioni letterali

Traccia

$ax^2-(a^2-2)x-2a>0$

Svolgimento

Prima di tutto è forndamentale calcolare il $\Delta$ , che ci può permettere di trovare immediatamente la soluzione:

$a=a$

$b=2-a^2$

$c=-2a$

$\Delta= b^2-4ac=4-4a^2+a^4+8a^2=a^4+4a^2+4=(a^2+2)^2$

Ci troveremo di fronte a tre casi:

$a <0$

Rendendo positivo il coefficiente della $x^2$ , avremo:

$-ax^2+(a^2-2)x+2a<0$

analizzando la tabella al seguente link:

Disequazioni di secondo grado

vediamo che dobbiamo trovare le soluzioni dell’equazione associata:

$-ax^2+(a^2-2)x+2a=0$

$x_{\frac 12}=\frac {2-a^2 \pm (a^2+2)}{-2a}$

$x_1=\frac {2-a^2 - a^2- 2)}{-2a}=\frac {2a^2}{2a}=a$

$x_2=\frac {2-a^2 + a^2+ 2)}{-2a}=-\frac {4}{2a}=-\frac 2a$

Quindi, avremo che la disequazione

$-ax^2+(a^2-2)x+2a<0$

è verificata per $a<x<-\frac 2a$ .

$a >0$

analizzando la tabella al seguente link:

Disequazioni di secondo grado

vediamo che dobbiamo trovare le soluzioni dell’equazione associata:

$ax^2-(a^2-2)x-2a=0$

$x_{\frac 12}=\frac {a^2-2 \pm (a^2+2)}{2a}$

$x_1=\frac {a^2-2 - a^2- 2)}{2a}=-\frac {4}{2a}=-\frac 2a$

$x_2=\frac {a^2-2 + a^2+ 2)}{2a}=\frac {2a^2}{2a}=a$

Quindi, avremo che la disequazione

$ax^2-(a^2-2)x-2a>0$

è verificata per $x<-\frac 2a \quad \lor \quad x>a$ .

$a = 0$

Allora, senza bisogno di ulteriori calcoli, la disequazione diventa semplicissima:

$2x>0$

$x>0$ .

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