Esercizio 9 Valori assoluti: disequazioni in cui compaiono valori assoluti

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Soluzione e svolgimento della seguente disequazione con valore assoluto

Traccia

\left | \frac {2+3x}{x-x^2}\right |>9

Svolgimento

Per svolgere queste disequazioni basterà studiare due sistemi separati e poi unire le soluzioni. Innanzitutto studiamo la positività del modulo, dove per comodità, trascriviamo solo il risultato:

  • \frac {2+3x}{x-x^2} \geq 0 \mbox { positivo per } x\leq -\frac 32 \quad \lor \quad 0<x<1

\begin{cases} x\leq -\frac 32 \quad \lor \quad 0<x<1 \\ \frac {2+3x}{x-x^2}>9 \end{cases} \qquad \begin{cases} -\frac 32 <x<0 \quad \lor \quad x > 1 \\ \frac {2+3x}{x-x^2}<-9 \end{cases}

\begin{cases} x\leq -\frac 32 \quad \lor \quad 0<x<1 \\ \frac {2+3x}{x-x^2}-9>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} -\frac 32 <x<0 \quad \lor \quad x > 1 \\ \frac {2+3x}{x-x^2}+9<0 \end{cases}

\begin{cases} x\leq -\frac 32 \quad \lor \quad 0<x<1 \\ \frac {2+3x-9x+9x^2}{x-x^2}>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} -\frac 32 <x<0 \quad \lor \quad x > 1 \\ \frac {2+3x+9x-9x^2}{x-x^2}<0 \end{cases}

\begin{cases} x\leq -\frac 32 \quad \lor \quad 0<x<1 \\ \frac {9x^2-6x+2}{x-x^2}>0 \end{cases} \qquad \begin{cases} -\frac 32 <x<0 \quad \lor \quad x > 1 \\ \frac {-9x^2+12x+2}{x-x^2}<0 \end{cases}

\begin{cases} x\leq -\frac 32 \quad \lor \quad 0<x<1 \\ \frac {9x^2-6x+2}{x^2-x}<0 \end{cases} \qquad \begin{cases} -\frac 32 <x<0 \quad \lor \quad x > 1 \\ \frac {9x^2 -12x- 2}{x^2-x}<0 \end{cases}

Nel primo sistema avremo:

  • \frac {9x^2-6x+2}{x^2-x}<0

dove il numeratore (\Delta <0) è sempre positivo e il denominatore sarà positivo per x<0 \quad \lor \quad x >1; quindi l’intera disequazione avrà soluzione:

    \[0<x<1\]

.

Nel secondo sistema avremo:

  • \frac {9x^2 -12x- 2}{x^2-x}<0

dove il numeratore è positivo per x< \frac {2-\sqrt {6}}{3} \quad \lor \quad x> \frac {2+\sqrt {6}}{3} e il denominatore è positivo per x < 0 \quad \lor \quad x>1; quindi la disequazione è verificata per

    \[ \frac {2-\sqrt {6}}{3}< x < 0 \quad \lor \quad 1<x < \frac {2+\sqrt {6}}{3}\]

.

\begin{cases} x\leq -\frac 32 \quad \lor \quad 0<x<1 \\ \0<x<1 \end{cases} \qquad \begin{cases} -\frac 32 <x<0 \quad \lor \quad x > 1 \\ \frac {2-\sqrt {6}}{3}< x < 0 \quad \lor \quad 1<x < \frac {2+\sqrt {6}}{3} \end{cases}

 

Quindi, analizzando le soluzioni dei singoli sistemi avremo:

  • 0<x<1
  • \frac {2-\sqrt {6}}{3}< x < 0 \quad \lor \quad 1<x < \frac {2+\sqrt {6}}{3}

Unendo le due soluzioni, quella dell’esercizio iniziale è quindi:

\frac {2-\sqrt {6}}{3}< x < \frac {2+\sqrt {6}}{3} \mbox { con } x \neq 0 \mbox { e } x \neq 1 .

 

 

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Un pensiero riguardo “Esercizio 9 Valori assoluti: disequazioni in cui compaiono valori assoluti”

  1. Scusate ma avete sbagliato nel primo e nel secondo sistema perché non vine x<(ueguale) di -3/2 ma x<(uguale) di -2/3 le x rimangono a sinistra e i numeri senza vanno a destra quindi verrebbe 3x=-2 x=-2/3

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