Esercizio 2 Formule di addizione e sottrazione

Traccia

$cos (x+30^\circ) - sen (x+60^\circ)+ sen ^2 x = 0$

Svolgimento

Per svolgere questa equazione bisogna utilizzare la formula di addizione:

$sen(\alpha+\beta)=sen\alpha cos\beta + cos\alpha sen\beta$ .

$cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta - sen\alpha sen\beta$

Sfruttando questa espressione nell’equazione iniziale, otteniamo:

$cos (x+30^\circ) - sen (x+60^\circ)+ sen ^2 x = 0$

$cosx cos (30^\circ) - senx sen (30^\circ)- senx cos(60^\circ)-cosx sen (60^\circ)+ sen^2x=0$

$\frac {\sqrt 3}{2} cosx - \frac 12 senx - \frac 1 2 senx - \frac {\sqrt 3}{2}cosx +sen^2x=0$

$sen^2x-senx=0$

Risolviamola come equazione spuria e otteniamo:

$senx(senx-1)=0$

Da cui avremo come soluzione:

$senx=0 \Rightarrow x=0 \quad \lor \quad x= 180^\circ$ .

$senx=1 \Rightarrow x=90^\circ$

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