Esercizio 9 Formule di addizione e sottrazione

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Traccia

tg(x+30^\circ)+tg(60^\circ-x)=2

Svolgimento

Per svolgere questa equazione bisogna utilizzare la formula di addizione e di sottrazione:

tg(\alpha+\beta)=\frac {tg \alpha + tg \beta}{1-tg\alpha tg \beta}.

tg(\alpha-\beta)=\frac {tg \alpha - tg \beta}{1+tg\alpha tg \beta}.

Sfruttando questa espressione nell’equazione iniziale, otteniamo:

tg(x+30^\circ)+tg(60^\circ-x)=2

\frac {tg x + tg 30^\circ}{1-tgx tg 30^\circ}+\frac {tg 60^\circ-tg x}{1+tgx tg 60^\circ}=2

\frac {tg x + \frac {\sqrt 3}{3}}{1- \frac {\sqrt 3}{3} tgx }+\frac {\sqrt 3-tg x}{1+ \sqrt 3 tgx}=2

\frac {\frac {3tgx + \sqrt 3}{3}}{ \frac {3- \sqrt 3 tgx}{3}}+\frac {\sqrt 3 - tgx}{1+\sqrt 3 tgx}=2

\frac {3tgx + \sqrt 3}{3- \sqrt 3 tgx}+\frac {\sqrt 3-tgx}{1+\sqrt 3 tgx}=2

Mettendo in evidenza \sqrt 3 sia a numeratore che a denominatore nella prima frazione semplifichiamo ottenendo:

\frac {\sqrt 3tgx + 1}{\sqrt 3- tgx}+\frac {\sqrt 3-tgx}{1+\sqrt 3 tgx}=2

\frac {(\sqrt 3tgx + 1)(1+tgx \sqrt 3)+(\sqrt 3-tgx)( \sqrt 3- tgx)}{(\sqrt 3- tgx)(1+\sqrt 3tgx)}=\frac {2(\sqrt 3- tgx)(1+\sqrt 3 tgx)}{(\sqrt 3- tgx)(1+ \sqrt 3 tgx)}

Imponendo che

tgx \neq \sqrt 3 \quad \lor \quad tgx \neq -\frac {\sqrt 3}{3}

otteniamo:

3tg^2x+1+2\sqrt 3 tgx + 3 + tg^2x-2\sqrt3 tgx = 2\sqrt 3 + 6tgx - 2tgx -2\sqrt 3 tg^2x

4tg^2x+2\sqrt3 tg^2x -4tgx+4-2\sqrt3=0

2tg^2x+\sqrt3 tg^2x -2tgx+2-\sqrt3=0

a=2+\sqrt3

b=-2

c=2-\sqrt3

tg_{\frac 12}x=\frac {2 \pm \sqrt {4-4(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}}{2(2+\sqrt3)}

tg_{\frac 12}x=\frac {2 \pm \sqrt {4-4}}{2(2+\sqrt3)}

tg_{\frac 12}x=\frac {2 \pm \sqrt {0}}{2(2+\sqrt3)}

tg_{\frac 12}x=\frac {2}{2(2+\sqrt3)}

tg_{\frac 12}x=\frac {1}{2+\sqrt3}

tg_{\frac 12}x=\frac {2-\sqrt3}{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}

tg_{\frac 12}x=2-\sqrt3

Quindi avremo come soluzione:

x= 15^\circ \quad \lor \quad x=195^\circ

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