Esercizio 3 formula di bisezione

Traccia

$tg^2\frac x2 + 2cosx=\frac 43$

Svolgimento

Per risolvere questa equazione dobbiamo prima usare la formula:

$tg \frac x2 = \pm \sqrt {\frac {1-cosx}{1+cosx}}$

Da cui, sostituendo nell’equazione iniziale otteniamo:

$\frac {1-cosx}{1+cosx}+2cosx=\frac 43$

$\frac {3-3cosx+6cosx+6cos^2x}{3(1+cosx)}=\frac {4+4cosx}{3(1+cosx)}$

Imponendo che: $cosx \neq -1$ otteniamo:

$3-3cosx+6cosx+6cos^2x=4+4cosx$

$6cos^2x-cosx-1=0$

Svolgendola come equazione di secondo grado otteniamo:

$a=6$

$b=-1$

$c=-1$

$cos_\frac 12 x= \frac {1 \pm \sqrt {1+24}}{12}$

$cos_\frac 12 x= \frac {1 \pm \sqrt {25}}{12}$

$cos_\frac 12 x= \frac {1 \pm 5}{12}$

$cos_1 x= \frac {1 - 5}{12}$

$cos_1 x= \frac {-4}{12}=-\frac 13$

da cui avremo:

$x= \pm arccos \frac 13.$

$cos_2 x= \frac {1+5}{12}$

$cos_2 x= \frac {6}{12}=\frac 12$

da cui avremo come soluzione:

$x=\frac 13 \pi \quad \lor \quad x=\frac 53 \pi$

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