Esercizio 1 Formule di prostaferesi e werner

Traccia

$sen 4x + sen 8x = 2cos 2x$

Svolgimento

Utilizziamo le formule di prostaferesi, che ci dicono che:

$sen(\alpha)+sen(\beta)=2sen(\frac {\alpha+\beta}{2})cos(\frac {\alpha-\beta}{2})$

e sostituendo nell’equazione otteniamo:

$2sen\frac {4x+8x}{2}cos\frac {4x-8x}{2}=2cos2x$

$2sen\frac {12x}{2}cos\frac {-4x}{2}-2cos2x=0$

$2sen 6x cos(-2x)-2cos2x=0$

Dividendo tutto per $2$ e ricordandosi che $cos(\alpha)=cos(-\alpha)$ avremo:

$sen6xcos2x-cos2x=0$

$cos2x(sen6x-1)=0$

da cui avremo due casi:

$2x= \frac 12 \pi +2k \pi \Rightarrow x=\frac 14 \pi + k \pi$

$2x= \frac 32 \pi +2k \pi \Rightarrow x=\frac 34 \pi + k \pi$

$6x=\frac 12 \pi + 2k \pi \Rightarrow x=\frac 1{12} \pi + \frac 13 k \pi$ .

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