Esercizio 8 Formule di prostaferesi e werner

Traccia

tg 2x + tg x = tg 3x sec 2x

Svolgimento

Utilizziamo le formule di prostaferesi, che ci dicono che:

tg(\alpha)+tg(\beta)=\frac {sen(\alpha+\beta)}{cos(\alpha)cos(\beta)}

e sostituendo nell’equazione otteniamo:

\frac {sen(2x+x)}{cos(2x)cos(x)}=\frac {sen3x}{cos3xcos2x}

\frac {sen(3x)}{cos(2x)cos(x)}-\frac {sen3x}{cos3xcos2x}=0

\frac {sen3x}{cos2x}(\frac {1}{cosx}-\frac {1}{cos3x})=0

\frac {sen3x}{cos2x}(\frac {cos3x-cosx}{cosxcos3x})=0

Utilizzando prostaferesi sui cos, otteniamo:

\frac {sen3x(-2 sen (\frac {3x+x}{2})sen (\frac {3x-x}{2}))}{cosxcos2xcos3x}=0

-2\frac {sen3x( sen (2x)sen (x))}{cosxcos2xcos3x}=0

che è più facile da vedere come:

tg(x)tg(2x)tg(3x)=0

da cui avremo tre casi:

  • tgx=0

x= k \pi

  • tg2x=0

2x= k \pi \Rightarrow x= \frac 12 k \pi

Soluzione non accettabile xkè renderebbe l”equazione priva di significato…

  • tg3x=0

3x= k \pi \Rightarrow x= \frac 13 k \pi

 

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