Esercizio 5 Sistemi di equazioni goniometriche

Traccia

$\begin{cases} senx + seny = \frac {\sqrt 3 + \sqrt 2}{2} \\ 4sen x sen y = \sqrt 6 \end{cases}$

Svolgimento

Se riscriviamo il sistema in questo modo:

$\begin{cases} senx + seny = \frac {\sqrt 3 + \sqrt 2}{2} \\ sen x sen y = \frac {\sqrt 6}{4} \end{cases}$

ci ritroviamo nella situazione di un sistema a noi già noto, dove abbiamo la somma e il doppio prodotto delle due radici, ovvero, rivedendolo in questo modo (usiamo $t$ come incognita per evitare ridondanze):

$\begin{cases} t_1 +t_2 = \frac {\sqrt 3 + \sqrt 2}{2} \\ t_1t_2 = \frac {\sqrt 6}{4} \end{cases}$

e risolveremmo l’equazione di secondo grado:

$t^2-\frac {\sqrt 3 + \sqrt 2}{2}t+\frac {\sqrt 6}{4}=0$ .

Ma senza fare grossi calcoli ci accorgiamo subito che le due soluzioni sono implicite nell’esercizio, infatti le coppie di risultati sono:

$\begin{cases} senx = \frac {\sqrt 3}{2} \\ seny = \frac {\sqrt 2}{2} \end{cases}$ oppure
$\begin{cases} seny = \frac {\sqrt 3}{2} \\ senx = \frac {\sqrt 2}{2} \end{cases}$