Esercizi equazioni di secondo grado: Problema 6 di geometria piana

In un rettangolo la base supera di 24 cm i $\frac 4 7$ dell’altezza. Determinare il perimetro del rettangolo sapendo che l’area è di 448 cm $^2$

Definiamo con $b$ la base, con $h$ l’altezza del rettangolo. In base ai dati otteniamo:

$b=24 cm+\frac 4 7 h$

$b*h=448 \mbox { cm}^2$

Per i calcoli omettiamo le unità di misure, quindi, sostituendo il valore di $b$ nella seconda otteniamo:

$(24+\frac 4 7 h)h=448$

$24h+\frac 4 7 h^2-448=0$

$\frac {168h+4h^2-3136}{7}=0$

$4h^2+168h-3136=0$

$h^2+42h-784=0$

$h_\frac 1 2=\frac {-42\pm \sqrt {1764+3136}}{2}=\frac {-42\pm \sqrt {4900}}{2}=\frac {-42\pm 70}{2}$

$h_1=\frac {-42 +70 }{2}= \frac {28 }{2} =14$

$h_2=\frac {-42 -70 }{2}= \frac {-112 }{2}=-56$

Ovviamente $h_2$ sarà non accettabile perchè negativa, quindi l’unica soluzione accettabile sarà: $h=14 \mbox { cm}$ .

Quindi la base sarà:

$b=24+\frac 4 7 h=24+\frac 4 7 14=24+8=32 \mbox { cm}$

e il perimetro sarà:

$2p=2b+2h=2*32+2*14=64+28=92 \mbox { cm}$ .

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