Esercizi equazioni di secondo grado: Problema 9 di geometria piana

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Soluzione e svolgimento del seguente problemi di geometria piana.

 

  • Dato il quadrato ABCD di lato l, determinare sulla retta AB un punto P tale che la somma dei quadrati delle sue distanze dai vertici C e D sia 15 l^2

 

Definendo con x la distanza AP,  otteniamo che:

BP=l-x.

Tracciando i segmenti PC e PD, otteniamo due triangoli rettangoli, PAD e PBC. Dai dati sappiamo che:

PC^2+PD^2=15l^2

Sfruttando il teorema di Pitagora possiamo trovare i valori dei due segmenti:

PC^2= l^2+(l-x)^2=l^2+k^2-2lx+x^2=2l^2-2lx+x^2

PD^2=l^2+x^2

Da qui, sostituendo nella equazione principale, otteniamo:

2l^2-2lx+x^2+l^2+x^2=15l^2

2x^2-2lx+3l^2-15l^2=0

2x^2-2lx-12l^2=0

x^2-lx-6l^2=0

x_\frac {1}{2}= \frac {l\pm \sqrt {l^2+24l^2}}{2}

x_\frac {1}{2}= \frac {l\pm \sqrt {25l^2}}{2}

x_\frac {1}{2}= \frac {l\pm 5l}{2}

x_1= \frac {l+5l}{2}=\frac 6 2 l= 3l

x_2= \frac {l-5l}{2}= - \frac 4 2 l =-2l

Le soluzioni sono ambedue accettabili perchè, sebbene il valore x_2 risulti essere negativo, questo indica solo la posizione (verso destra o verso sinistra) sulla quale muovere il segmento…

In parole povere, il punto P, sulla retta AB può distare 2l da A o 2l da B…

 

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