Esercizio 9 Problemi di secondo grado

Problemi di argomento vario

In una frazione il numeratore supera di 5 il denominatore; trovare la frazione sapendo che diminuendo di 3 ambo i termini della frazione si ottiene una nuova frazione che supera la prima di $\frac 5 {36}$

$N=5+D$

$\frac {N-3}{D-3}=\frac {N}{D}+\frac {5}{36}$

sostituendo a $N=5+D$ otteniamo l’equazione fratta:

$\frac{5+D-3}{D-3}=\frac {5+D}{D} +\frac {5}{36}$

$\frac{D+2}{D-3}=\frac {5+D}{D} +\frac {5}{36}$

$\frac {36D(D+2)}{36D(D-3)}=\frac {36(D+5)(D-3)+5D(D-3))}{36D(D-3)}$

$36D^2+72D=36D^2-108D+180D-540+5D^2-15D$

$36D^2-36D^2-5D^2+72D+108D-180D+15D+540=0$

$-5D^2+15D+540=0$

$D^2-3D-108=0$

Al solito si può risolvere o come trinomio speciale o come equazione di secondo grado.

Come trinomio speciale, i due numeri la cui somma è -3 e il prodotto è -108 sono -12 e 9. Quindi:

$D^2-3D-108=(D-12)(D+9)$ ; da cui le soluzioni per il denominatore sono -9 e 12, mentre per il numeratore sarebbero -4 e 17.

Come equazione di secondo grado:

$a=1; b=-3; c=-108$

$D_{\frac 1 2} =\frac {3 \pm \sqrt {9-4(-108)}}{2}$

$D_{\frac 1 2} =\frac {3 \pm \sqrt {9+432)}}{2}$

$D_{\frac 1 2} =\frac {3 \pm \sqrt {441}}{2}$

$D_\frac 1 2 =\frac {3 \pm 21}{2}$

$D_1 = \frac {3 + 21}{2}=\frac {24}{2}=12$

$D_2=\frac {3 - 21}{2}=-\frac {18}{2}=-9$

Le coppie quindi sono quelle viste sopra

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