Esercizio 12 Equazioni parametriche

Traccia

Dire per quali valori di $k$ le soluzioni dell’equazione $x^2-6kx+9k^2-18k+5=0$ sono concordi.

Svolgimento

$x^2-6kx+9k^2-18k+5=0$

Per capire per quali valori di $k$ l’equazione avrà soluzioni reali, basterà semplicemente studiare la positività del $\Delta$ .

$a=1$

$b=-6k$

$c=9k^2-18k+5$

$\Delta=36k^2-4(9k^2-18k+5)$

$\Delta=36k^2-36k^2+72k-20$

$\Delta=4(18k-5)$

Imponiamo ora che $\Delta \geq 0$ e avremo:

$18k-5 \geq 0$

$k \geq \frac {5}{18}$

Affinchè le due radici siano concordi deve accadere che:

$9k^2-18k+5 \geq 0$

$k_{\frac 12}= \frac {18 \pm \sqrt {324-180}}{18}=\frac {18 \pm \sqrt {144}}{18}=\frac {18 \pm 12}{18}=\frac {3 \pm 2}{3}$ .

Senza bisogno di fare il grafico, possiamo direttamente dire che la disequazione sarà verificata per valori interni alle radici, ovvero:

$k \leq \frac {1}{3} \quad \lor \quad k \geq \frac 53$

Intersecando quest’ultima soluzione con le possibilità di ammettere soluzioni reali avremo la soluzione finale:

$\frac {5}{18} \leq k \leq \frac 13 \qaud \lor \quad k\geq 5/3$

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