Esercizio 15 Equazioni parametriche

Traccia

Stabilire per quali valori di $a$ l’equazione $(3-2a)x^2+(3a-10)x +2a+8=0$ ammette soluzioni che verificano la relazione: $x_1+x_2-x_1x_2> \frac 75$ .

Svolgimento

$(3-2a)x^2+(3a-10)x +2a+8=0$

Per capire per quali valori di $a$ l’equazione avrà soluzioni reali, basterà semplicemente studiare la positività del $\Delta$ .

$a=3-2a$

$b=3a-10$

$c=2a+8$

$\Delta=(3a-10)^2-4(2a+8)(3-2a)$

$\Delta=9a^2-60a+100-24a+16a^2-96+64a$

$\Delta=25a^2-20a+4$

$\Delta=(5a-2)^2$

Imponiamo ora che $\Delta \geq 0$ e avremo:

$(5a^2-2)^2 \geq 0$

Essendo un quadrato di binomio la disequazione sarà sempre verificata.

Affinchè sia verificato che $x_1+x_2-x_1x_2> \frac 75$ , deve accadere che:

$-\frac ba - \frac ca > \frac 75$

$-\frac {3a-10}{3-2a} - \frac {2a+8}{3-2a} >\frac 75$

$-\frac {3a-10}{3-2a} - \frac {2a+8}{3-2a} -\frac 75 >0$

$\frac {3a-10}{3-2a} + \frac {2a+8}{3-2a}+\frac 75 <0$

$\frac {15a-50+10a+40+21-14a}{5(3-2a)} <0$

$\frac {11a+11}{5(3-2a)} <0$

$11\frac {a+1}{5(2a-3)} >0$

$N > 0 \Rightarrow a>-1$
$D>0 \Rightarrow a >\frac 32$

Senza bisogno di fare il grafico, possiamo direttamente dire che la disequazione sarà verificata per valori esterni alle radici, ovvero:

$a<-1 \quad \lor \quad a > \frac 32$

che coincide anche con la soluzione finale in quanto non c’è nessuna limitazione sul $\Delta$ .

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