Esercizio 1 Valori assoluti: equazioni in cui compaiono valori assoluti

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Traccia

\left | \frac {x^2-4}{x^2-x+3}\right |=1

Svolgimento

Per svolgere questa equazione dovremo considerare separatamente due casi, ovvero studiare il caso in cui il valore assoluto sia positivo e/o negativo e svolgere i calcoli singolarmente.

Studiamo prima la positività del modulo:

  • x^2-4 \geq 0

Senza svolgere tutti i calcoli, avremo che:

x \leq -2 \quad \lor \quad x \geq 2

  • x^2-x+3 >0

questa è verificata \forall x \in R.

Quindi avremo che:

\frac {x^2-4}{x^2-x+3} \geq 0 \mbox { per } x \leq -2 \quad \lor \quad x \geq 2

\frac {x^2-4}{x^2-x+3} < 0 \mbox { per } -2<x<2

Studiamo i due sistemi:

\begin{cases} x \leq -2 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ \frac {x^2-4}{x^2-x+3}=1 \end{cases} \qquad \begin{cases} -2< x < 2 \\ \frac {x^2-4}{x^2-x+3}=-1 \end{cases}

 

\begin{cases} x \leq -2 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ \frac {x^2-4}{x^2-x+3}-1=0 \end{cases} \qquad \begin{cases} -2< x < 2 \\ \frac {x^2-4}{x^2-x+3}+1=0 \end{cases}

\begin{cases} x \leq -2 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ \frac {x^2-4-x^2+x-3}{x^2-x+3}=0 \end{cases} \qquad \begin{cases} -2< x < 2 \\ \frac {x^2-4+x^2-x+3}{x^2-x+3}=0 \end{cases}

\begin{cases} x \leq -2 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ \frac {x-7}{x^2-x+3}=0 \end{cases} \qquad \begin{cases} -2< x < 2 \\ \frac {2x^2-x-1}{x^2-x+3}=0 \end{cases}

\begin{cases} x \leq -2 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ x-7=0 \end{cases} \qquad \begin{cases} -2< x < 2 \\ 2x^2-x-1=0 \end{cases}

\begin{cases} x \leq -2 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ x=7 \mbox { accettabile } \end{cases} \qquad \begin{cases} -2< x < 2 \\ x_{\frac 12}= \frac {1 \pm \sqrt {1+8}}{4}=\frac {1 \pm 3}{4} \end{cases}

\begin{cases} x \leq -2 \quad \lor \quad x \geq 2 \\ x=7 \mbox { accettabile } \end{cases} \qquad \begin{cases} -2< x < 2 \\ x_1=\frac {1 - 3}{4}=-\frac 12 \quad \wedge \quad x_2=\frac {1 + 3}{4}=1 \end{cases}.

Le soluzioni sono tutte e 3 accettabili.

 

 

 

 

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