Esercizio 2 Valori assoluti: equazioni in cui compaiono valori assoluti

Traccia

$\left | x^2-6\right | =x$

Svolgimento

Per svolgere questa equazione dovremo considerare separatamente due casi, ovvero studiare il caso in cui il valore assoluto sia positivo e/o negativo e svolgere i calcoli singolarmente.

Studiamo prima la positività del modulo:

$x^2-6 \geq 0$

Senza svolgere tutti i calcoli, avremo che:

$x \leq -\sqrt 6 \quad \lor \quad x \geq \sqrt 6$

Quindi avremo che:

$x^2-6 \geq 0 \mbox { per } x \leq -\sqrt 6 \quad \lor \quad x \geq \sqrt 6$

$x^2-6 < 0 \mbox { per } -\sqrt 6<x< \sqrt 6$

Studiamo i due sistemi:

$\begin{cases} x \leq -\sqrt 6 \quad \lor \quad x \geq \sqrt 6 \\ x^2-6=x \end{cases} \qquad \begin{cases} -\sqrt 6< x < \sqrt 6 \\ x^2-6=-x \end{cases}$

$\begin{cases} x \leq -\sqrt 6 \quad \lor \quad x \geq \sqrt 6 \\ x^2-x-6=0 \end{cases} \qquad \begin{cases} -\sqrt 6< x < \sqrt 6 \\ x^2+x-6=0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \leq -\sqrt 6 \quad \lor \quad x \geq \sqrt 6 \\ x_{\frac 12}= \frac {1 \pm \sqrt {1+24}}{2}=\frac {1 \pm 5}{4} \end{cases} \qquad \begin{cases} -\sqrt 6< x < \sqrt 6 \\ x_{\frac 12}= \frac {-1 \pm \sqrt {1+24}}{2}=\frac {-1 \pm 5}{4} \end{cases}$

$\begin{cases} x \leq -\sqrt 6 \quad \lor \quad x \geq \sqrt 6 \\ x_1=\frac {1 - 5}{2}=-2 \quad \wedge \quad x_2=\frac {1 + 5}{2}=3 \end{cases} \qquad \begin{cases} -2< x < 2 \\ x_1=\frac {-1 - 5}{2}=-3 \quad \wedge \quad x_2=\frac {-1 + 5}{2}=2 \end{cases}$ .

Di queste 4 soluzioni:

$x=-2$ non è accettabile
$x=3$ accettabile
$x=-3$ non accettabile
$x=2$ accettabile.

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