Esercizio 6 Equazioni in cui figurano valori assoluti di espressioni contenenti l’incognita

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Traccia

\frac {\left | x-2 \right |}{x}= \frac {x}{1+\left |x-2 \right |}

Svolgimento

Analizziamo separatamente 2 casi:

  • x>2

\frac { x-2 }{x}= \frac {x}{1+ x-2 }

\frac { x-2 }{x}= \frac {x}{x-1 }

Imponendo che x \neq 0 \quad \wedge \quad x \neq 1, otteniamo:

(x-1)(x-2)=x^2

x^2-2x-x+2=x^2

-3x=-2

x=\frac 23 soluzione non accettabile perchè \frac 23 <2

  • x\leq 2

\frac { 2- x }{x}= \frac {x}{1+2- x }

\frac { 2-x }{x}= \frac {x}{3-x }

Imponendo che x \neq 0 \quad \wedge \quad x \neq 3, otteniamo:

(3-x)(2-x)=x^2

6-3x-2x+x^2=x^2

-5x=-6

x=\frac 65 soluzione  accettabile.

Quindi l’equazione ammetterà un’unica soluzione:

x=\frac 65

 

 

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