Problema 3

In un triangolo isoscele la somma del lato e dei $\frac 38$ dell’altezza relativa alla base è 26 m; si sa inoltre che l’altezza supera di 12 m la quinta parte del lato stesso. Determinare la lunghezza della base e l’area del triangolo.

Dai dati e dal disegno otteniamo, ponendo $AB=x, AH=y$ :

$x+\frac 38 y=26 \mbox { m}$

$y=12+\frac 1 5 x$

Sostituendo quest’ultima nella prima, otteniamo:

$x+\frac 3 8 (12+\frac 1 5 x)=26$ (ometto per comodità le unità di misura…)

$x+\frac 9 2 + \frac {3}{40} x =26$

$\frac {40+3}{40}x = \frac {1040-180}{40}$

$43x=860$

$x=20 \mbox { m}$

Da cui:

$y=12 \mbox { m} +\frac 1 5 x = (12 + \frac 1 5 20) \mbox { m}=(12+4) \mbox { m}=16 \mbox { m}$

Sfruttando il teorema di pitagora possiamo ottenere $BH$ che, per la proprietà dei triangoli isosceli, risulta essere la metà della base.

$BH=\sqrt {20^2-16^2} \mbox { m} =\sqrt {400-256} \mbox { m}=\sqrt {144} \mbox { m}=12 \mbox { m}$

Quindi:

$BC=24 \mbox { m}$

E l’area sarà:

$A=\frac 1 2 AH*BC=\frac 1 2 24*16 \mbox { m}^2=192 \mbox { m}^2$

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