Problema 7

Nel trapezio isoscele ABCD la base minore AB è i $\frac 3 5$ della base maggiore CD e la differenza delle basi è 8 cm. Determinare l’area e il perimetro del trapezio sapendo che l’altezza è di 3 cm .

Dal disegno e dai dati, ponendo $CD=x, AB=y$ , otteniamo:

$y=\frac 3 5 x$

$x-y=8 \mbox { cm}$

$BH=3 \mbox { cm}$

Analizzando le prime due otteniamo:

$x-\frac 3 5 x=8$ (ometto le unità di misura per comodità…)

$\frac {5-3}{5}x=8$

$\frac 2 5 x = 8$

$x=\frac 5 2 8 =20 \mbox { cm}$

$y=\frac 3 5 x=3 5 20 \mbox { cm} =12 \mbox { cm}$

Quindi l’area sarà uguale a:

$A=\frac 1 2 (AB+CD)BH=\frac 1 2(20+12)*3 \mbox { cm}^2=48\mbox { cm}^2$

Per il perimetro bisognerà calcolare il lato obliquo; per sfruttare il teorema di Pitagora sul triangolo $BHC$ serve calcolare il segmento $HC$ :

$HC=\frac {CD-AB}{2}=\frac {20-12}{2} \mbox { cm} =\frac 8 2 \mbox { cm}= 4 \mbox { cm}$

$BC=\sqrt {BH^2+HC^2}=\sqrt {3^2+4^2}\mbox { cm}=\sqrt {9+16}\mbox { cm}=\sqrt {25}\mbox { cm}=5 \mbox { cm}$

Il perimetro sarà:

$2p= (12+5+20+5) \mbox { cm}=42 \mbox { cm}$

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