Esercizio 43 Equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici 1

Traccia

$\sqrt{x+\sqrt{x+3}}=3$

Svolgimento

Essendo una radice quadrata bisognerà imporre un dominio di esistenza dell’eventuale soluzione dell’equazione, ed imporre anche che il secondo termine sia positivo; quindi svolgeremo un sistema in cui imponiamo che il radicando sia positivo e poi eleveremo al quadrato ambo i membri.

$\begin{cases} x+\sqrt {x+3} \geq 0 \\ x+\sqrt {x+3}=9 \end{cases}$

$\begin{cases} x+\sqrt {x+3} \geq 0 \\ \sqrt {x+3}=9-x \end{cases}$

$\begin{cases} x+\sqrt {x+3} \geq 0 \\ x+3 \geq 0 \\ x+3=x^2-18x+81 \end{cases}$

$\begin{cases} x+\sqrt {x+3} \geq 0 \\ x \geq -3 \\ x^2-19+78=0 \end{cases}$

$\begin{cases} x+\sqrt {x+3} \geq 0 \\ x \geq -3 \\ x_{\frac 12}=\frac {19 \pm \sqrt {361-312}}{2} \end{cases}$

$\begin{cases} x+\sqrt {x+3} \geq 0 \\ x \geq -3 \\ x_{\frac 12}=\frac {19 \pm \sqrt {49}}{2} \end{cases}$

$\begin{cases} x+\sqrt {x+3} \geq 0 \\ x \geq -3 \\ x_{\frac 12}=\frac {19 \pm 7}{2} \end{cases}$

$\begin{cases} x+\sqrt {x+3} \geq 0 \\ x \geq -3 \\ x_1=\frac {19 -7}{2}=6 \quad \wedge \quad x_2=\frac {19 +7}{2}=13 \end{cases}$

E’ accettabile solo una soluzione, ovvero $x=6$ , perchè la soluzione $x=13$ non verificherebbe l’equazione iniziale.

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