Esercizio 13 Equazioni irrazionali contenenti radicali quadratici 2

Traccia

$\sqrt{3x+16}-\sqrt{3x+7}=\sqrt{x+13}-\sqrt{x+6}$

Svolgimento

$\sqrt{3x+16}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+13}+\sqrt{3x+7}$

Essendo le radici già isolate, possiamo elevare subito al quadrato dopo aver verificato le condizioni di esistenza.

$\begin {cases} 3x+16 \geq 0 \\ 3x+7 \geq 0 \\ x+13 \geq 0 \\ x+6 \geq 0 \end{cases}$

$\begin {cases} x \geq -\frac {16}{3} \\ x \geq -\frac 73 \\ x \geq -13 \\ x \geq -6 \end{cases}$

Quindi, affinchè siano verificate entrambe deve succedere che:

$x \geq -\frac 73$ .

Eleviamo ora tutto al quadrato:

$3x+16+2\sqrt{(3x+16)(x+6)}+x+6=x+13+2\sqrt{(x+13)(3x+7)}+3x+7$

$2+2\sqrt{(3x+16)(x+6)}=2\sqrt{(x+13)(3x+7)}$

$1+\sqrt{(3x+16)(x+6)}=\sqrt{(x+13)(3x+7)}$

Eleviamo nuovamente al quadrato:

$1+2\sqrt{(3x+16)(x+6)}+3x^2+34x+96=3x^2+46x+91$

$2\sqrt{(3x+16)(x+6)}=12x-6$

$\sqrt{(3x+16)(x+6)}=6x-3$

Rieleviamo di nuovo al quadrato.

$3x^2+34x+96=36x^2-36x+9$

$33x^2-70x-87=0$

$x_{\frac 12}=\frac {70 \pm \sqrt {4900+11484}}{66}=\frac {70 \pm \sqrt {16384}}{66}=\frac {70 \pm 128}{66}=\frac {35 \pm 64}{33}$

Da questa avremo due soluzioni:

$x=-\frac {29}{33}$ accettabile, e

$x=3$ accettabile.

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