Sistemi che si risolvono con artefici 5

$\Biggl \{ \begin{array}{ll} \frac {x}{x+a} - \frac {y} {a-y} = 1 \\ \frac {2x}{x+a} + \frac {3y}{y-a}+\frac 12 = 0 \end{array}$

alla 5 poni $\frac {x}{x+a}=t$ e $\frac y {a-y}=u$ da cui:

$x=tx+at \Rightarrow x=\frac {at}{1-t}$

$y=ua-uy \Rightarrow y=\frac {ua}{1+u}$

$\Biggl \{ \begin{array}{ll} t - u = 1 \\ 2t + 3u= -\frac 12 \end{array}$

$\Biggl \{ \begin{array}{ll} t - u = 1 \\ 4t + 6u= -1 \end{array}$

Usando il metodo di sostituzione troviamo la $t$ nella prima.

$\Biggl \{ \begin{array}{ll} t = 1 +u \\ 4 (1+u) + 6u= -1 \end{array}$

$\Biggl \{ \begin{array}{ll} t = 1 +u \\ 4 +4u + 6u= -1 \end{array}$

$\Biggl \{ \begin{array}{ll} t = 1 +u \\ 10u= -1-4 \end{array}$

$\Biggl \{ \begin{array}{ll} t = 1 + (-\frac 12) \\ u= \frac {-5}{10}=-\frac 1 2 \end{array}$

$\Biggl \{ \begin{array}{ll} t = \frac 12 \\ u= -\frac 1 2 \end{array}$ .

Quindi:

$x=\frac {\frac a 2}{1-\frac 1 2}=\frac {\frac a 2}{\frac 1 2}=\frac a 2 \cdot 2 =a$

$y=\frac {-\frac a 2}{1-\frac 1 2}=\frac {-\frac a 2}{\frac 1 2}=-\frac a 2 \cdot 2 =-a$

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