Esercizio 4 Sistemi simmetrici di grado superiore al secondo

Traccia

$\begin{cases} x^2+y^2+xy=7 \\ x+y=1+xy \end{cases}$

Svolgimento

Per risolvere questo sistema bisogna prima di tutto ricondurlo in una forma particolare ricordando che:

$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$ ,

da cui avremo:

$\begin{cases} ( x+y)^2-xy=7 \\ x+y-1=xy \end{cases}$

Sostituendo ora il valore di $xy$ otteniamo:

$\begin{cases} ( x+y)^2-x-y+1=7 \\ x+y-1=xy \end{cases}$

$\begin{cases} ( x+y)^2-(x+y)-6=0 \\ xy= x+y-1 \end{cases}$

Il primo lo possiamo vedere come un trinomio speciale del tipo:

$z^2-z-6=0 \Rightarrow (z-3)(z+2)=0$

Quindi avremo:

$\begin{cases} x+y=-2 \\ xy=-2-1 \end{cases} \qquad \lor \qquad \begin{cases} x+y=3 \\ xy=3-1 \end{cases}$

$\begin{cases} x+y=-2 \\ xy=-3 \end{cases} \qquad \lor \qquad \begin{cases} x+y=3 \\ xy=2 \end{cases}$

che ammetteranno le due equazioni:

$z^2+2z-3=0 \qquad \lor \qquad z^2-3z+2=0$

che daranno come soluzioni:

$z_1= -3 \quad \lor \quad z_2=1 \quad$ la prima equazione e

$z_3= 1 \quad \lor \quad z_4= 2 \quad$ la seconda equazione.

Le 4 coppie di soluzioni saranno:

$(-3,1); (1,-3);(1,2);(2,1).$

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