Esercizio 9 Sistemi simmetrici di secondo grado

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Traccia

\begin{cases} x+y=\frac {a^2+1}{a} \\ xy=1 \end{cases}

Svolgimento

Essendo un sistema simmetrico possiamo considerare le due incognite come se fossero le radici di un’equazione di secondo grado e quindi trovare le soluzioni semplicemente svolgendo:

t^2- \frac {a^2+1}{a} t +1=0

at^2-(a^2+1)t+a=0

t_{\frac 12}= \frac { a^2+1 \pm \sqrt {a^4+2a^2+1-4a^2}}{2a}

t_{\frac 12}= \frac { a^2+1 \pm \sqrt {(a^2-1)^2}}{2a}

t_{\frac 12}= \frac { a^2+1 \pm (a^2-1)}{2}

t_1= \frac {a^2+1-a^2+1}{2a}=\frac 1a

t_2= \frac {a^2+1+a^2-1}{2a}=a

Quindi le due coppie di risultati saranno:

\begin{cases} x=a \\ y= \frac 1a \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} x= \frac 1a \\ y=a \end{cases}

 

 

 

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