Esercizio 5 Funzione razionale fratta

-5

y=\frac{1}{x^2-4x+4}

  • Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale fratta, bisognerà escludere quei valori che annullano il denominatore; quindi il dominio è tutto \mathbb{R} - \{ 2 \}, o scritto sotto forma di intervalli:

    \[D=]-\infty; 2[ \quad \cup \quad ]2; +\infty [\]

  • Simmetrie e periodicità

-f(x)=-\frac{1}{x^2-4x+4}

f(-x)=\frac{1}{x^2+4x+4}

Questa funzione non avrà simmetrie.

  • Intersezioni con gli assi

\begin{cases} x=0 \\ y=\frac 14 \end{cases}

La funzione avrà una intersezione con gli assi:

P\left (0; \frac 14 \right)

  • Segno della funzione

Studiamo la positività di f(x):

\frac{1}{x^2-4x+4} \geq0

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

1 \geq 0 \rightarrow \forall x \in \, D

x^2-4x+4 >0 \rightarrow x \neq 2 \rightarrow \forall x \in \, D

La funzione sarà positiva per x<2 e per x>2

  • condizione agli estremi

    \[\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= 0\]

    \[\lim_{ x \rightarrow 2^-} f(x)= + \infty\]

    \[\lim_{ x \rightarrow 2^+} f(x)= + \infty\]

  • Asintoti

La funzione avrà asintoto orizzontale in y=0

La funzione avrà asintoto verticale per x=2

  • Studio della derivata prima

y'=\frac {-2}{(x-2)^3}

y' \geq 0

\frac {2}{(x-2)^3} \leq0

Ci limiteremo quindi a studiare solo il denominatore, visto che il numeratore è sempre positivo per ogni x del dominio:

x-2 < 0

La disequazione è quindi verificata per x <2

Intersecando le soluzioni, avremo che la funzione sarà quindi crescente in ]-\infty;2[ e sarà decrescente in ]2;+\infty[.

Non ammetterà massimi e minimi relativi.

 

  • Studio della derivata seconda

y''=\frac {6}{(x-2)^4}

y''\geq 0

Si nota subito che, per ogni x che appartiene al dominio la disequazione è sempre verificata.

La funzione avrà concavità verso verso l’alto negli intervalli ]-\infty;2 [ e ]2 ;+\infty[.

 

 

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