Esercizio 5 Funzione razionale fratta

$y=\frac{1}{x^2-4x+4}$

Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale fratta, bisognerà escludere quei valori che annullano il denominatore; quindi il dominio è tutto $\mathbb{R} - \{ 2 \}$ , o scritto sotto forma di intervalli:

$D=]-\infty; 2[ \quad \cup \quad ]2; +\infty [$

Simmetrie e periodicità

$-f(x)=-\frac{1}{x^2-4x+4}$

$f(-x)=\frac{1}{x^2+4x+4}$

Questa funzione non avrà simmetrie.

Intersezioni con gli assi

$\begin{cases} x=0 \\ y=\frac 14 \end{cases}$

La funzione avrà una intersezione con gli assi:

$P\left (0; \frac 14 \right)$

Segno della funzione

Studiamo la positività di $f(x)$ :

$\frac{1}{x^2-4x+4} \geq0$

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

$1 \geq 0 \rightarrow \forall x \in \, D$

$x^2-4x+4 >0 \rightarrow x \neq 2 \rightarrow \forall x \in \, D$

La funzione sarà positiva per $x<2$ e per $x>2$

condizione agli estremi

$\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= 0$

$\lim_{ x \rightarrow 2^-} f(x)= + \infty$

$\lim_{ x \rightarrow 2^+} f(x)= + \infty$

Asintoti

La funzione avrà asintoto orizzontale in $y=0$

La funzione avrà asintoto verticale per $x=2$

Studio della derivata prima

$y'=\frac {-2}{(x-2)^3}$

$y' \geq 0$

$\frac {2}{(x-2)^3} \leq0$

Ci limiteremo quindi a studiare solo il denominatore, visto che il numeratore è sempre positivo per ogni x del dominio:

$x-2 < 0$

La disequazione è quindi verificata per $x <2$

Intersecando le soluzioni, avremo che la funzione sarà quindi crescente in $]-\infty;2[$ e sarà decrescente in $]2;+\infty[$ .

Non ammetterà massimi e minimi relativi.

Studio della derivata seconda

$y''=\frac {6}{(x-2)^4}$

$y''\geq 0$

Si nota subito che, per ogni x che appartiene al dominio la disequazione è sempre verificata.

La funzione avrà concavità verso verso l’alto negli intervalli $]-\infty;2 [$ e $]2 ;+\infty[$ .

Rendered by QuickLaTeX.com

Altri esercizi simili:

(Questa pagina è stata visualizzata da 75 persone)

Lascia un commento Annulla risposta