Esercizio 9 Funzione razionale fratta

-1
  • y=\frac{x^2}{(x-1)^2}

 

  • Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale fratta, bisognerà escludere quei valori che annullano il denominatore; quindi il dominio è tutto \mathbb{R} - \{ 1 \}, o scritto sotto forma di intervalli:

    \[D=]-\infty; 1[ \quad \cup \quad ]1; +\infty [\]

  • Simmetrie e periodicità

f(-x)=\frac{x^2}{(x+1)^2}

-f(x)=\frac{-x^2}{(x-1)^2}

Questa funzione non avrà simmetrie.

  • Intersezioni con gli assi

\begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases}

La funzione avrà una intersezione con gli assi:

O\left (0;0 \right)

  • Segno della funzione

Studiamo la positività di f(x):

\frac{x^2}{(x-1)^2} \geq0

Senza bisogno di studiare numeratore e denominatore, essendoci dei quadrati a numeratore e a denominatore, la funzione in ogni suo intervallo sarà positiva.

La funzione sarà positiva, quindi, per x<1 e per x>1

La funzione non sarà mai negativa.

La funzione si annullerà per x=0.

  • condizione agli estremi

    \[\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= 1\]

    \[\lim_{ x \rightarrow 1^-} f(x)= + \infty\]

    \[\lim_{ x \rightarrow 1^+} f(x)= + \infty\]

  • Asintoti

La funzione avrà asintoto orizzontale in y=1

La funzione avrà asintoto verticale per x=1

  • Studio della derivata prima

y'=\frac {2x(x-1)^2-2x^2(x-1)}{(x-1)^4}=\frac{2x^2-2x-2x^2}{(x-1)^3}=\frac{-2x}{(x-1)^3}

y' \geq 0

\frac {-2x}{(x-1)^3} \geq0

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

-2x \geq 0 \iff x \leq 0

(x-1)^3 >0 \iff x >1

 

Intersecando le soluzioni, avremo che la funzione sarà quindi crescente in ]0; 1[; sarà decrescente in ]-\infty;0[; sarà decrescente in ]1;+\infty.

Avrà un minimo relativo (assoluto) nel punto O.

 

  • Studio della derivata seconda

y''=\frac {-2(x-1)^3+6x(x-1)^2}{(x-1)^6}=\frac {-2x+ 2+6x}{(x-1)^4}=\frac {4x+2}{(x-1)^4}

y''\geq 0

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

4x+2 \geq 0 \iff x \geq -\frac 12

(x-1)^4 >0 \\quad \forall x \in D

La funzione avrà concavità verso l’alto negli intervalli ]-\frac 12;1 [ e ]1 ;+\infty[.

La funzione avrà concavità verso il basso  negli intervalli ]-\infty;-\frac 12[.

Ammetterà un punto di flesso in F(-\frac 12;1)

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