Esercizio 3 funzioni razionali intere

$y=x^3+3x$

Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale intera, il dominio è tutto $\mathbb{R}$ .

Simmetrie e periodicità

$-f(x)=-x^3-3x$

$f(-x)=-x^3-3x$

Questa sarà una funzione dispari.

Intersezioni con gli assi

$\begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases}$

La funzione avrà una sola intersezione con gli assi:

$\left (0;0 \right)$

Studiamo la positività di $f(x)$ :

$x^3+3x \geq0$

$x(x^2+3)\geq0$

$x \geq \frac 0$

condizione agli estremi

$\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= \pm \infty$

Asintoti

Essendo una funzione razionale intera non avrà asintoti verticali, orizzontali ne tantomeno obliqui.

Studio della derivata prima

$y'=3x^2+3$

$y' \geq 0$

$3x^2 +3 \geq0$

Essendo la derivata prima sempre positiva, allora la funzione sarà sempre crescente!!!

Studio della derivata seconda

$y''=6x$

$y''\geq 0$

$6x \geq0$

$x \geq 0$

La funzione avrà concavità verso il basso fino al punto di flesso $F\left(0; 0 \right)$ e concavità verso l’alto in seguito.

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