Esercizio 5 funzioni razionali intere

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y=x(x-1)^2

  • Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale intera, il dominio è tutto \mathbb{R}.

  • Simmetrie e periodicità

-f(x)=-x(x-1)^2

f(-x)=-x(-x-1)^2=-x(x+1)^2

Si evince che questa funzione non avrà simmetrie.

  • Intersezioni con gli assi

\begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases}

\begin{cases} y=0 \\ x=0 \quad x=1 \end{cases}

La funzione avrà due intersezioni con gli assi:

\left (0;0 \right) e \left (1;0 \right)

  • Segno della funzione

Studiamo la positività di f(x):

x(x-1)^2 \geq0

x\geq0

  • condizione agli estremi

    \[\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= \pm \infty\]

  • Asintoti

Essendo una funzione razionale intera non avrà asintoti verticali, orizzontali ne tantomeno obliqui.

  • Studio della derivata prima

y'=(x-1)^2+2x(x-1)=(x-1)(3x-1)

y' \geq 0

(x-1)(3x-1) \geq0

x \leq \frac 13 \quad \lor \quad x \geq 1

La funzione sarà crescente fino al punto \left(\frac 13; \frac {4}{27}\right), decrescente fino a \left(1;0\right), e crescente fino a +\infty.

I punti trovati saranno proprio il massimo e il minimo relativo della funzione.

  • Studio della derivata seconda

y''=3x-1+3x-3=6x-4

y''\geq 0

6x-4 \geq0

x \geq \frac 23

La funzione avrà concavità verso il basso fino al punto di flesso F\left(\frac 23; \frac {2}{27} \right) e concavità verso l’alto in seguito.

 

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