Esercizio 6 funzioni razionali intere

y=4x^3-x^2-14x

  • Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale intera, il dominio è tutto  \mathbb{R}.

  • Simmetrie e periodicità

-f(x)=-4x^3+x^2+14x

f(-x)=-4x^3-x^2+14x

Questa sarà una funzione dispari.

  • Intersezioni con gli assi

\begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases}

\begin{cases} y=0 \\ x=0 \quad x=-\frac 74 \quad x=2 \end{cases}

La funzione avrà tre intersezioni con gli assi:

\left (0;0 \right) ,\left (-\frac 74;0 \right) e \left (2;0 \right)

  • Segno della funzione

Studiamo la positività di f(x):

4x^3-x^2-14x \geq0

x(4x+7)(x-2) \geq0

-\frac 72 \leq x \leq 0 \quad \lor \quad x \geq 2

  • condizione agli estremi

    \[\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= \pm \infty\]

  • Asintoti

Essendo una funzione razionale intera non avrà asintoti verticali, orizzontali ne tantomeno obliqui.

  • Studio della derivata prima

y'=12x^2-2x-14

y' \geq 0

6x^2-x-7 \geq0

(6x-7)(x+1) \geq 0

x \leq -1 \quad \lor \quad x \geq \frac 76

La funzione sarà crescente fino al punto (-1;9), decrescente fino al punto di ascissa  \frac 76, e crescente fino a +\infty.

I punti trovati saranno proprio il massimo e il minimo relativo della funzione.

  • Studio della derivata seconda

y''=12x-1

y''\geq 0

12x-1 \geq0

x \geq \frac {1}{12}

La funzione avrà concavità verso il basso fino al punto di flesso F di ascissa \frac {1}{12}, e concavità verso l’alto in seguito.

 

 

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