Esercizio 1 integrali di funzioni razionali fratte

$\int \frac {dx}{x^2-4}$

Riscriviamo il polinomio così da avere:

$\frac {A}{x-2}+\frac {B}{x+2}=\frac {1}{x^2-4}$

$\frac{Ax+2A+Bx-2B}{x^2-4}=\frac {1}{x^2-4}$

Da qui avremo il sistema:

$\begin{cases} A+B=0 \\ 2A-2B=1 \end{cases}$

$\begin{cases} A=-B \\ -2B-2B=1 \end{cases}$

$\begin{cases} A=\frac 14 \\ B=-\frac 14 \end{cases}$

Quindi l’integrale iniziale diverrà:

$\int \frac {dx}{x^2-4}=\frac 14 \left( \int \frac{dx}{x-2}-\int \frac{dx}{x+2}\right) =$

$=\frac 14\left(log\left|x-2 \right| -log\left|x+2 \right|\right)+C=\frac 14 log\left|\frac {x-2}{x+2} \right|+C$

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