Esercizio 12 integrali di funzioni razionali fratte

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\int \frac {x}{x^2+x+2} \, dx

Usiamo un piccolo artificio e riscriviamo l’integrali in questo modo:

\int \frac {x}{x^2+x+2} \, dx=\frac 12 \int \frac {2x+1-1}{x^2+x+2} \, dx

Dividiamo adesso lo studio in due integrali separati:

\int \frac {2x+1}{x^2+x+2} \, dx=\frac 12 log \left| x^2+x+2 \right|+C

e

\int \frac {1}{x^2+x+2} \, dx

Il polinomio a denominatore non è scomponibile, ma con qualche operazione algebrica otteniamo:

x^2+x+2=x^2+x+\frac 14+\frac 34=(x+\frac 12)^2+\frac 34

Essendo il denominatore non scomponibile usiamo un piccolo artificio:

\int \frac {dx}{m^2+(x+a)^2} =\frac {1}{m} arctg \left( \frac {(x+a)}{m} \right)+C

Sostituendo i fattori otteniamo:

\int \frac {dx}{x^2+x+2} =\frac {1}{ \frac {\sqrt 3}{2}} arctg \left( \frac {x+\frac 12}{\frac {\sqrt 3}{2}} \right)+C= \frac {2}{\sqrt 3} arctg \left( \frac {2x+ 1}{\sqrt 3} \right)+C

Quindi il risultato finale sarà:

\int \frac {x}{x^2+x+2} \, dx=\frac 12 log \left| x^2+x+2 \right|+\frac {2}{\sqrt 3} arctg \left( \frac {2x+ 1}{\sqrt 3} \right)+C

 

 

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