Esercizio 3 integrali di funzioni razionali fratte

\int \frac {dx}{9x^2-25}

Riscriviamo il polinomio così da avere:

\frac {A}{3x-5}+\frac {B}{3x+5}=\frac {1}{9x^2-25}

\frac{3Ax+5A+3Bx-5B}{9x^2-25}=\frac {1}{9x^2-25}

Da qui avremo il sistema:

\begin{cases} 3A+3B=0 \\ 5A-5B=1 \end{cases}

\begin{cases} A=-B \\ -5B-5B=1 \end{cases}

\begin{cases} A=\frac {1}{10} \\ B=-\frac {1}{10} \end{cases}

Quindi l’integrale iniziale diverrà:

\int \frac {dx}{9x^2-25}= \frac{1}{10} \left(\int \frac{dx}{3x-5}-\int \frac{dx}{3x+5} \right)=

=\frac {1}{30}left( log\left|3x-5 \right| -log\left|3x+5 \right| \right)+C= \frac {1}{30}\left(log\left|\frac {3x-5}{3x+5} \right| \right)+C

 

 

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