Esercizio 8 integrali di funzioni razionali fratte

$\int \frac {x+1}{x^2-2x+1} \, dx$

Da questa situazione, facendo delle piccole operazioni algebriche otteniamo:

$\int \frac {x+1}{x^2-2x+1} \, dx=\frac 12 \int \frac {2x+2}{x^2-2x+1} \, dx=\frac 12 \int \frac {2x-2+4}{x^2-2x+1} \, dx=$

$=\frac 12 \left(\int \frac {2x-2}{x^2-2x+1} \, dx + \int \frac {4}{x^2-2x+1} \, dx\right)$

Questi sono ambedue integrali immediati in quanto:

$\int \frac {2x-2}{x^2-2x+1} \, dx =log \left| x^2-2x+1\right|+C=log \left| (x-1)^2\right|+C=2log \left| x-1\right|+C$

$\int \frac {4}{x^2-2x+1} \, dx= \int \frac {4}{(x-1)^2} \, dx=-4(x-1)^{-1}+C$

L’integrale iniziale sarà quindi:

$\int \frac {x+1}{x^2-2x+1} \, dx=log \left| x-1\right|-\frac {2}{x-1}+C$

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