Esercizio 9 integrali di funzioni razionali fratte

$\int \frac {2x-3}{4x^2-4x+1} \, dx$

Da questa situazione, facendo delle piccole operazioni algebriche otteniamo:

$\int \frac {2x-3}{4x^2-4x+1} \, dx=\frac 12 \int \frac {4x-6}{4x^2-4x+1} \, dx=\frac 12 \int \frac {4x-4-2}{4x^2-4x+1} \, dx=$

$=\frac 12 \left(\int \frac {4x-4}{4x^2-4x+1} \, dx - \int \frac {2}{4x^2-4x+1} \, dx\right)$

Questi sono ambedue integrali immediati in quanto:

$\int \frac {4x-4}{4x^2-4x+1} \, dx =log \left| 4x^2-4x+1\right|+C=log \left| (2x-1)^2\right|+C=2log \left| 2x-1\right|+C$

$\int \frac {2}{4x^2-4x+1} \, dx= \int \frac {2}{(2x-1)^2} \, dx=-(2x-1)^{-1}+C$

L’integrale iniziale sarà quindi:

$\int \frac {2x-3}{4x^2-4x+1} \, dx=log \left| 2x-1\right|+\frac {1}{2(2x-1)}+C$

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