Esercizio 6 Funzione razionale fratta

0

y=\frac{1}{2x^2+3x-5}

 

  • Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale fratta, bisognerà escludere quei valori che annullano il denominatore; quindi il dominio è tutto \mathbb{R} - \{ -\frac 52; 1 \}, o scritto sotto forma di intervalli:

    \[D=]-\infty; -\frac 52[ \quad \cup \quad ]-\frac 52;1 [ \quad \cup \quad ]1; +\infty [\]

  • Simmetrie e periodicità

-f(x)=-\frac{1}{2x^2+3x-5}

f(-x)=\frac{1}{2x^2-3x-5}

Questa funzione non avrà simmetrie.

  • Intersezioni con gli assi

\begin{cases} x=0 \\ y=-\frac 15 \end{cases}

La funzione avrà una intersezione con gli assi:

P\left (0; -\frac 15 \right)

  • Segno della funzione

Studiamo la positività di f(x):

\frac{1}{2x^2+3x-5} \geq0

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

1 \geq 0 \rightarrow \forall x \in \, D

2x^2+3x-5 >0 \rightarrow x < -\frac 52 \quad \lor \quad x>1

La funzione sarà positiva per x<-\frac 52 e per x>1

La funzione sarà negativa per -\frac 52 <x<1

La funzione non si annullerà mai.

  • condizione agli estremi

    \[\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= 0\]

    \[\lim_{ x \rightarrow -\frac 52^-} f(x)= + \infty\]

    \[\lim_{ x \rightarrow -\frac 52^+} f(x)= - \infty\]

    \[\lim_{ x \rightarrow 1^-} f(x)= - \infty\]

    \[\lim_{ x \rightarrow 1^+} f(x)= + \infty\]

  • Asintoti

La funzione avrà asintoto orizzontale in y=0

La funzione avrà asintoto verticale per x=-\frac 52 e per x=1

  • Studio della derivata prima

y'=\frac {-4x-3}{(2x^2+3x-5)^2}

y' \geq 0

\frac {4x+3}{(2x^2+3x-5)^2} \leq0

Ci limiteremo quindi a studiare solo il numeratore, visto che il denominatore è sempre positivo per ogni x del dominio:

4x+3 \leq 0

La disequazione è quindi verificata per x \leq -\frac 34

Intersecando le soluzioni, avremo che la funzione sarà quindi crescente in ]-\infty; -\frac 52[; sarà crescente in ]-\frac 52;-\frac 34[; sarà decrescente in ]-\frac 34;1[ e sarà decrescente in ]1;+\infty.

Avrà un massimo relativo in M\left(-\frac 34; -\frac {8}{49}\right).

 

  • Studio della derivata seconda

y''=\frac {-4(2x^2+3x-5)^2-(-4x-3)(2)(2x^2+3x-5)(4x+3)}{(2x^2+3x-5)^4}

y''=\frac {-4(2x^2+3x-5)+(8x+6)(4x+3)}{(2x^2+3x-5)^3}

y''=\frac {-8x^2-12x+20+32x^2+24x+24x+18}{(2x^2+3x-5)^3}

y''=\frac {24x^2+36x+38}{(2x^2+3x-5)^3}

y''\geq 0

Si nota subito che, per ogni x che appartiene al dominio il numeratore è sempre positivo, e quindi:

La funzione avrà concavità verso l’alto negli intervalli ]-\infty;-\frac 52 [ e ]1 ;+\infty[.

La funzione avrà concavità verso il basso  negli intervalli ]-\frac 52;1[.

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