Esercizio 6 Funzione razionale fratta

$y=\frac{1}{2x^2+3x-5}$

Insieme di definizione

Essendo una funzione razionale fratta, bisognerà escludere quei valori che annullano il denominatore; quindi il dominio è tutto $\mathbb{R} - \{ -\frac 52; 1 \}$ , o scritto sotto forma di intervalli:

$D=]-\infty; -\frac 52[ \quad \cup \quad ]-\frac 52;1 [ \quad \cup \quad ]1; +\infty [$

Simmetrie e periodicità

$-f(x)=-\frac{1}{2x^2+3x-5}$

$f(-x)=\frac{1}{2x^2-3x-5}$

Questa funzione non avrà simmetrie.

Intersezioni con gli assi

$\begin{cases} x=0 \\ y=-\frac 15 \end{cases}$

La funzione avrà una intersezione con gli assi:

$P\left (0; -\frac 15 \right)$

Segno della funzione

Studiamo la positività di $f(x)$ :

$\frac{1}{2x^2+3x-5} \geq0$

Studiamo separatamente numeratore e denominatore:

$1 \geq 0 \rightarrow \forall x \in \, D$

$2x^2+3x-5 >0 \rightarrow x < -\frac 52 \quad \lor \quad x>1$

La funzione sarà positiva per $x<-\frac 52$ e per $x>1$

La funzione sarà negativa per $-\frac 52 <x<1$

La funzione non si annullerà mai.

condizione agli estremi

$\lim_{ x \rightarrow \pm \infty} f(x)= 0$

$\lim_{ x \rightarrow -\frac 52^-} f(x)= + \infty$

$\lim_{ x \rightarrow -\frac 52^+} f(x)= - \infty$

$\lim_{ x \rightarrow 1^-} f(x)= - \infty$

$\lim_{ x \rightarrow 1^+} f(x)= + \infty$

Asintoti

La funzione avrà asintoto orizzontale in $y=0$

La funzione avrà asintoto verticale per $x=-\frac 52$ e per $x=1$

Studio della derivata prima

$y'=\frac {-4x-3}{(2x^2+3x-5)^2}$

$y' \geq 0$

$\frac {4x+3}{(2x^2+3x-5)^2} \leq0$

Ci limiteremo quindi a studiare solo il numeratore, visto che il denominatore è sempre positivo per ogni x del dominio:

$4x+3 \leq 0$

La disequazione è quindi verificata per $x \leq -\frac 34$

Intersecando le soluzioni, avremo che la funzione sarà quindi crescente in $]-\infty; -\frac 52[$ ; sarà crescente in $]-\frac 52;-\frac 34[$ ; sarà decrescente in $]-\frac 34;1[$ e sarà decrescente in $]1;+\infty$ .

Avrà un massimo relativo in $M\left(-\frac 34; -\frac {8}{49}\right)$ .

Studio della derivata seconda

$y''=\frac {-4(2x^2+3x-5)^2-(-4x-3)(2)(2x^2+3x-5)(4x+3)}{(2x^2+3x-5)^4}$

$y''=\frac {-4(2x^2+3x-5)+(8x+6)(4x+3)}{(2x^2+3x-5)^3}$

$y''=\frac {-8x^2-12x+20+32x^2+24x+24x+18}{(2x^2+3x-5)^3}$

$y''=\frac {24x^2+36x+38}{(2x^2+3x-5)^3}$

$y''\geq 0$

Si nota subito che, per ogni x che appartiene al dominio il numeratore è sempre positivo, e quindi:

La funzione avrà concavità verso l’alto negli intervalli $]-\infty;-\frac 52 [$ e $]1 ;+\infty[$ .

La funzione avrà concavità verso il basso negli intervalli $]-\frac 52;1[$ .

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