Esercizio 11 Problemi su triangoli e poligoni simili

Traccia

Il perimetro di un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, è 144 cm e il lato BC supera la base di 12 cm. Determinare i tre lati. Dal punto P di AB tale che AP=7/13 PB si conducano le perpendicolari PH e PK rispettivamente ai lati BC e AC. Determinare il perimetro dei triangoli AKP e PHB.

Svolgimento

Chiamiamo $AB=x$ , e avremo:

$AC=BC=12+x$

$2p=AB+BC+AC=x+12+x+12+x=3x+24=144 \mbox { cm}$

da cui avremo:

$3x=120$

$x=40$

Quindi:

$AB=40 \mbox { cm}$

$AC=BC=52 \mbox { cm}$ .

Calcoliamo ora AP e PB, sapendo che:

$AP=\frac {7}{13}PB$

$AB=AP+PB=\frac {7}{13}PB+PB=\frac {20}{13}PB=40 \mbox { cm}$

Da qui avremo che:

$PB=26\mbox { cm}$

$AP=14\mbox { cm}$

Troviamo anche la lunghezza dell’altezza CM che ci servirà tra un attimo, con il teorema di Pitagora:

$CM=\sqrt {AC^2-(\frac12AB)^2}=\sqrt {2704-400} \mbox { cm}=\sqrt {2304}\mbox { cm}=48\mbox { cm}$

Dal disegno si evince che, tracciando l’altezza CM, i triangoli AMC, APK e PBH sono simili, avendo ognuno un angolo in comune ed essendo retti.

Con i criteri di proporzionalità ricaviamo adesso i lati:

$AK:AP=AM:AC$

$AK=\frac {AP \cdot AM}{AC}=\frac {14 \cdot 20}{52}\mbox { cm}=\frac {70}{13}\mbox { cm}$

$PK:AP=CM:AC$

$PK=\frac {AP \cdot CM}{AC}=\frac {14 \cdot 48}{52}\mbox { cm}=\frac {168}{13}\mbox { cm}$

Troviamo quindi il perimetro:

$2p_{APK}=(14+\frac {70}{13}+\frac {168}{13})\mbox { cm}=\frac {420}{13}\mbox { cm}$

$BH:BP=BM:BC$

$BH=\frac {BP \cdot BM}{BC}=\frac {26 \cdot 20}{52}\mbox { cm}=10\mbox { cm}$

$PH:BP=CM:BC$

$PH=\frac {BP \cdot CM}{BC}=\frac {26 \cdot 48}{52}\mbox { cm}=24\mbox { cm}$

Troviamo quindi il perimetro:

$2p_{PBH}=(26+10+24)\mbox { cm}=60\mbox { cm}$

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