Esercizio 3 Problemi su triangoli e poligoni simili

Traccia

Un triangolo rettangolo ABC ha l’ipotenusa BC di 60 cm ed è 4AC=3AB.Determinare perimetro e area di un triangolo simile il cui cateto minore è 64 cm.

Svolgimento

Poniamo $AB=x$ ,

così da trovare l’incognita sfruttando il teorema di Pitagora: $AC^2+AB^2=BC^2$ ,

sapendo che:

$AC=\frac 34 x$ :

$\frac {9}{16}x^2+x^2=3600$

$\frac {25}{16}x^2=3600$

$x^2=2304$

$x=48$

da qui avremo:

$AB=48 \mbox { cm}$

$AC=36 \mbox { cm}$

Per il criterio di similitudine, senza bisogno di calcolare tutti i lati del triangolo simile possiamo calcolare perimetro e area, sapendo che:

$2p=(36+48+60) \mbox { cm}=144 \mbox { cm}$

$A_{ABC}=\frac {AB \cdot AC}{2}=\frac {48 \cdot 36}{2} \mbox { cm}^2=864 \mbox { cm}^2$ .

Ora possiamo trovare il perimetro e l’area del triangolo simile sfruttando le proporzioni sul cateto minore:

$2p':2p=AC:A'C'$

$\frac {2p'}{144}=\frac {64}{36}$

$2p'=256 \mbox { cm}$

mentre per l’area bisognerà considerare il rapporto dei quadrati:

$A_{A'B'C'}:A_{ABC}=AC^2:A'C'^2$

$\frac {A}{864}=\frac {4096}{1296}$

$A=\frac {8192}{3} \mbox { cm}^2$

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