Goniometria

Tra le funzioni goniometriche esistono relazioni fondamentali.

La prima: la somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso arco vale 1:

$sen^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$ .

La seconda: la tangente di un arco vale il rapporto tra il seno e il coseno dell’arco:

$tg \alpha = \frac {sen \alpha}{cos \alpha}$ .

noto	$sen\alpha$	$cos\alpha$	$tg\alpha$
$sen\alpha$	$sen\alpha$	$\pm \sqrt {1-sen^2 \alpha}$	$\pm \frac {sen\alpha}{\sqrt {1-sen^2\alpha}}$
$cos\alpha$	$\pm \sqrt {1-cos^2 \alpha}$	$cos\alpha$	$\pm \frac {\sqrt {1-cos^2\alpha}}{cos\alpha}$
$tg\alpha$	$\pm \frac {tg\alpha}{\sqrt {1+tg^2\alpha}}$	$\pm \frac {1}{\sqrt {1+tg^2\alpha}}$	$tg\alpha$

Relazioni particolari tra coppie di angoli che differiscono per multipli di angolo retto

$sen(\alpha - \beta)=sen \alpha \cdot cos \beta - cos \alpha \cdot sen \beta$
$sen(\alpha + \beta)=sen \alpha \cdot cos \beta + cos \alpha \cdot sen \beta$
$cos(\alpha - \beta)=cos \alpha \cdot cos \beta + sen \alpha \cdot sen \beta$
$cos(\alpha + \beta)=cos \alpha \cdot cos \beta - sen \alpha \cdot sen \beta$
$tg(\alpha-\beta)=\frac {tg \alpha - tg \beta}{1+tg \alpha \cdot tg \beta}$ , con $\alpha, \beta, \alpha - \beta \neq \frac {\pi}{2} + k \pi$
$tg(\alpha+\beta)=\frac {tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha \cdot tg \beta}$ , con $\alpha, \beta, \alpha + \beta \neq \frac {\pi}{2} + k \pi$

$sen (2\alpha)=2\cdot sen \alpha \cdot cos \alpha$
$cos (2\alpha)=cos^2 \alpha - sen^2 \alpha=1-2sen^2 \alpha = 2cos^2 \alpha-1$
$tg (2\alpha) = \frac {2tg\alpha}{1-tg^2 \alpha}$ con $\alpha \neq \frac {\pi}{2} +k\pi$ e $\alpha \neq \frac {\pi}{4} +k\frac {\pi}2$

$sen \alpha = \frac {2tg\frac {\alpha}{2}}{1+tg^2 \frac {\alpha}{2}}=\frac {2t}{1+t^2}$ con $\alpha \neq (2k+1)\pi$
$cos \alpha = \frac {1-tg^2\frac {\alpha}{2}}{1+tg^2 \frac {\alpha}{2}}=\frac {1-t^2}{1+t^2}$ con $\alpha \neq (2k+1)\pi$
$tg \alpha = \frac {2tg\frac {\alpha}{2}}{1-tg^2 \frac {\alpha}{2}}=\frac {2t}{1-t^2}$ con $\alpha \neq (2k+1)\pi$ e $\alpha \neq (2k+1) \frac {\pi}{2}$

$sen(\frac {\alpha}{2} = \pm \sqrt {\frac {1-cos \alpha}{2}}$
$cos(\frac {\alpha}{2} = \pm \sqrt {\frac {1+cos \alpha}{2}}$
$tg(\frac {\alpha}{2} = \pm \sqrt {\frac {1-cos \alpha}{1+cos\alpha}}$ con $\alpha \neq \pi +2k\pi$