Problema 1.4 PNI 2010

PROBLEMA 1
In figura è riportato il grafico di $g(x)$ per $-2\leq x \leq 5$ , essendo $g$ la derivata di una funzione $f$ . Il grafico consiste di tre semicirconferenze con centri in $(0, 0), (3, 0), (9/2 , 0)$ e raggi rispettivi 2, 1 e $\frac 12$ .

4. Si determinino i punti in cui la funzione $f$ ha derivata seconda nulla. Cosa si può dire sul segno di $f(x)$ ? Qual è l’andamento qualitativo di $f(x)$ ?

Per determinare i punti dove si annulla la derivata seconda di $f$ si può anche non calcolarla esplicitamente, ma basta soffermarsi sull’andamento di $g(x)$ , ricordando che, per quanto detto prima, $f ''=g'$ . Basta quindi calcolare i punti dove $g$ presenta rette a tangente orizzontali (x=3, x=0, x=9/2 che in pratica sono le ascisse dei centri delle tre semicirconferenze in cui il grafico è diviso).

Per quanto riguarda il segno della funzione $f$ , si può dedurre rivedendo l’integrale definito e considerando la sua interpretazione geometrica come risultante dell’area sottesa alla curva di $f$ . Per $x=-2$ :

$f(−2)=\int_{-2}^2 g(t)dt=0.$

All’aumentare di $x$ , avrò questa serie di valori per l’integrale definito:

$f(−1)=\frac 23 \pi -\frac{\sqrt 3}{2}$

$f(1)=\frac 43 \pi +\frac{\sqrt 3}{2}$

$f(0)=\pi$

$f(2)=2 \pi$

$f(3)=\frac 74 \pi$

$f(4)=\frac 32 \pi$

$f(\frac 92)=\frac {25}{16}\pi$

$f(5)=\frac {13}{8} \pi$

In pratica, l’andamento descritto finora in base ad osservazioni geometriche e coerente con lo studio del segno di $g$ ci suggerisce che $f$ è monotona crescente per $-2\ leq x \leq 2$ e per $4\leq x \leq 5$ , è monotona decrescente per $2<x< 4$ . Inoltre per $x=2$ la funzione raggiunge il suo massimo assoluto, mentre $x=4$ è un suo punto di minimo relativo. La funzione presenta tre punti di flesso per $x=0, x=3, x=\frac 92$ .

Altri esercizi simili:

(Questa pagina è stata visualizzata da 3 persone)

Matebook

La matematica spiegata passo passo

Problema 1.4 PNI 2010

Lascia un commento Annulla risposta