Problema 1.1 Scientifico 2010

PROBLEMA 1
Sia ABCD un quadrato di lato 1, P un punto di AB e $\gamma$ la circonferenza di centro P e raggio AP. Si prenda sul lato BC un punto Q in modo che sia il centro di una circonferenza $\lambda$ passante per C e tangente esternamente a $\gamma$ .

Se $AP = x$ , si provi che il raggio di $\lambda$ in funzione di $x$ è dato da $f(x) = \frac {1-x}{1+x}$ .

Vedendo la figura richiesta dal testo, sia $QC=r$ , così da avere:

$PB^2+BQ^2=PQ^2.$

Sapendo che, questo è ovviamente un triangolo rettangolo e la distanza dei centri di due circonferenze tangenti esternamente è proprio la somma dei raggi, otteniamo:

$(1-x)^2+(1-r)^2=(x+r)^2$