Problema 1.3 Scientifico 2010

PROBLEMA 1
Sia ABCD un quadrato di lato 1, P un punto di AB e $\gamma$ la circonferenza di centro P e raggio AP. Si prenda sul lato BC un punto Q in modo che sia il centro di una circonferenza $\lambda$ passante per C e tangente esternamente a $\gamma$ .

Sia $g(x) =\left|\frac {1-x}{1+x} \right|, x \in R$ ; quale è l’equazione della retta tangente al grafico di $g(x)$ nel punto $R (0, 1)$ ? E nel punto $S (1, 0)$ ? Cosa si può dire della tangente al grafico di $g(x)$ nel punto $S$ ?

Avendo visto il grafico nel punto 2, per tracciare il grafico di $g(x)$ , basterà semplicemente “ribaltare” la parte di grafico ove le ordinate sono negative.

Calcoliamo ora l’equazione della retta tangente al grafico di g nei punti R ed S.

Per prima cosa, ci serve calcolare la derivata che ci darà i coefficienti angolari:

$g'(x)=-\frac {2}{(1+x)^2}.$

Da cui:

$g'(0)=-2$ .

Per quanto riguarda il punto S invece, essendo un punto angoloso, la funzione non è derivabile e quindi la tangente non esiste. Riusciamo però a calcolare le 2 tangenti (a destra e a sinistra del punto):

$g'(1^{\pm})=\pm \frac 12$ .