Problema 2.1 PNI 2010

Problema 2

Nel piano riferito ad un sistema $Oxy$ di coordinate cartesiane siano assegnate le parabole di equazioni: $y^2=2x$ e $x^2=y$

1. Si disegnino le due parabole e se ne determinino le coordinate dei fuochi e le equazioni delle rispettive rette direttrici. Si denoti con A il punto di intersezione delle due parabole diverso dall’origine $O$ .

Siano $p_1$ e $p_2$ le due parabole; queste si intersecano sia nell’origine O che rappresenta pure il vertice per entrambe che nell’ulteriore punto A che si deduce dall’equazione (ottenuta eliminando la variabile $y$ dalle due equazioni di $p_1$ e $p_2$ ):

$(x^2)^2=2x \rightarrow x_A=\sqrt[3] 2 \rightarrow y_A=\sqrt[3]4 \rightarrow A(\sqrt[3]2; \sqrt[3]4).$

Riportate le due parabole alla forma canonica e conoscendo che l’asse di simmetria di $p_1$ è l’asse x, le coordinate del fuoco di $p_1$ e l’equazione della sua direttrice $d_1$ sono: