Quesito 10 PNI 2010

Si consideri la regione delimitata da $y=\sqrt x$ , dall’asse x e dalla retta $x = 4$ .
L’integrale $\int_0^4 2\pi x (\sqrt x) dx$ fornisce il volume del solido:
a) generato da R nella rotazione intorno all’asse x;
b) generato da R nella rotazione intorno all’asse y;
c) di base R le cui sezioni con piani perpendicolari all’asse x sono semicerchi di raggio $\sqrt x$ ;
d) nessuno di questi.

L’area R descritta nell’esercizio è quella che si può vedere in arancio nella figura qui sotto.

Andiamo ad analizzare una per una le possibili soluzioni all’integrale

$\int_0^4 2\pi x (\sqrt x) dx$

1) non può essere questa la soluzione giusta in quanto l’integrale generato da R nella rotazione attorno all’asse x è:

$\int_0^4 \pi (\sqrt x)^2 dx=\int_0^4 \pi x dx$

sia la forma che il valore (di cui si lascia il calcolo) ci dicono che la soluzione è errata.

2) non sembra essere neanche questa la soluzione giusta in quanto l’integrale generato da R nella rotazione attorno all’asse y è:

$V_{cil}−V_S=\pi (x_A)^2 \cdot y_A− \int_0^2 \pi (y^2)^2 dy$

ed appare diverso dalla forma che ci è stata presentata, ma se li si vanno a calcolare entrambi si scopre che questi sono equivalenti!!!

3) non può essere neanche questa la soluzione giusta in quanto l’integrale in questa opzione è:

$\int_0^4 C(x) dx=\int_0^4 \frac 12 \pi (\sqrt x)^2 dx=\int_0^4 \frac 12 \pi x dx$

sia la forma che il valore (di cui si lascia il calcolo) ci dicono che la soluzione è errata.

4) essendo valida la risposta (2), questo esclude di fatto la risposta (4).

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Quesito 10 PNI 2010

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