Problema 1.3 P.N.I. 2011

Sia $f$ la funzione definita sull’insieme R dei numeri reali da $f(x)= x + ln 4 + \frac {2}{e^x+1}$ e sia $\Gamma$ la sua rappresentazione grafica nel sistema di riferimento $Oxy$ .

Si provi che, per tutti gli x reali, è: $f(x) = x + 2+ ln 4 -\frac {2e^x}{e^x+1}$ . Si provi altresì che la retta r di equazione $y = x + ln4$ e la retta s di equazione $y = x + 2 + ln 4$ sono asintoti di $\Gamma$ e che $\Gamma$ è interamente compresa nella striscia piana delimitata da r e da s.

Proviamo la richiesta:

$x + 2+ ln 4 -\frac {2e^x}{e^x+1}=x+ln 4 +\frac {2e^x+2-2e^x}{e^x+1}=x+ln 4 +\frac {2}{e^x+1}=f(x).$

Determiniamo gli asintoti obliqui:

$m=\lim_{x \to \pm \infty} \left(\frac {x+ln 4 +\frac {2}{e^x+1}}{x}\right)=\lim_{x \to \pm \infty} \left(1+ \frac 1x ln 4 +\frac {2}{x(e^x+1)}\right)=1.$