Problema 1.4 P.N.I. 2011

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Sia f la funzione definita sull’insieme R dei numeri reali da f(x)= x + ln 4 + \frac {2}{e^x+1} e sia  \Gamma la sua rappresentazione grafica nel sistema di riferimento Oxy.

 

Posto I(\beta)=\int_0^{\beta} \left [(f(x)-x-ln 4 \right] dx, si calcoli:

    \[\lim_{\beta \to +\infty}I(\beta).\]

Qual è il significato geometrico del risultato ottenuto?

L’integrale indefinito sarà:

    \[\int \frac {2}{e^x+1}dx=2\int \frac {1}{e^x+1} dx =\int \frac {e^x+1-e^x}{e^x+1}dx=\]

    \[=2\int \left( 1- \frac {e^x}{e^x+1}\right) dx=2\left [x-ln \left (e^x+1\right) \right ],\]

da cui

    \[I(\beta)=2\left [x-ln \left (e^x+1\right) \right ]_0^{\beta}=2\left [\beta-ln \left (e^{\beta}+1\right) +ln2\right ]=\]

    \[=2\left [ln \left( e^{\beta}\right)-ln \left (e^{\beta}+1\right) +ln2\right ]=2ln\frac {2e^{\beta}}{e^{\beta}+1}.\]

E avremo quindi che:

    \[\lim_{\beta \to + \infty}2ln\frac {2e^{\beta}}{e^{\beta}+1}=2ln2.\]

Il valore appena trovato è proprio l’area della parte di piano compresa tra f(x) e l’asintoto destro nel primo quadrante.

 

 

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