Quesito 5 P.N.I. 2011

In una delle sue opere G. Galilei fa porre da Salviati, uno dei personaggi, la seguente questione riguardante l’insieme N dei numeri naturali ( “i numeri tutti”). Dice Salviati: «….se io dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e i non quadrati, esser più che i quadrati soli, dirò proposizione verissima: non è così?». Come si può rispondere all’interrogativo posto e con quali argomentazioni?

 

 

La risposta è : Non è così.

 

L’insieme dei numeri che sono quadrati perfetti, che indicheremo con N_q, è un sottoinsieme proprio dell’insieme N di tutti i  numeri naturali ; trattandosi però di insiemi infiniti , possiamo affermare che <<il tutto contiene la parte>> ma non che il tutto è maggiore della parte.

Infatti , poiché tra gli elementi N e diN_q si può costruire una corrispondenza biunivoca,

    \[n \leftrightarrow n^2\]

 possiamo affermare che i numeri quadrati sono tanti quanti i numeri naturali.

Nella Teoria degli Insiemi si dice che i due insiemi sono equipotenti

 

 
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