Della funzione 
, definita per 
, si sa che è dotata di derivata prima e seconda e che il grafico della sua derivata 
, disegnato a lato, presenta due tangenti orizzontali per 
e 
. Si sa anche che 
, 
e 
.
- Per quale valore di
la funzione presenta il suo minimo assoluto? Sapendo che 
per quale valore di la funzione presenta il suo massimo assoluto?
Dal grafico della derivata osserviamo che:
![\[f'(x) \leq 0 \mbox { se } x \in [0;5] \quad \mbox { e } \quad f'(x) \geq 0 \mbox { se } x \in [5;6].\]](https://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6c3b36eaf26d09b7722b7ef0f5cd35a1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Da questo deduciamo che f è decrescente nell’intervallo [0;5] e crescente in [5;6]. Quindi la funzione ammetterà punto di minimo in corrispondenza di 
.
Quindi, si nota anche che il punto di massimo assoluto la funzione lo può avere solo agli estremi del dominio, e quindi dovremo confrontare i valori assunti dalla funzione nei punti di ascissa 0 e 6.
Poichè 
è derivata di , abbiamo che è per definizione una primitiva di . Sfruttando il teorema fondamentale del calcolo integrale, otteniamo che:
![\[\int_a^b f'(x)dx=f(b)-f(a).\]](https://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-90caffe3b9a3f56a52c29c70c4400eb1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nel caso specifico
![\[-5=\int_0^6 f'(x)dx=f(6)-f(0)=f(6)-9 \Rightarrow f(6)=4.\]](https://www.matebook.it/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ee67168117369a044d337299453395c3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Quindi il massimo assoluto si avrà per 
.
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