Problema 1.2 Scientifico 2012

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Siano f e g le funzioni definite, per tutti gli x reali, da

    \[f(x)=|27x^3| \quad \quad \mbox { e } \quad \quad g(x)= sen \left( \frac 32 \pi x\right).\]

 

 

  • Si scrivano le equazioni delle rette r e s tangenti, rispettivamente, a G_f e a G_g nel punto di ascissa x=\frac 13. Qual è l’ampiezza, in gradi e primi sessagesimali, dell’angolo acuto formato da r e da s?

 

Notiamo che f e g si intersecano per x=\frac 13 nel punto di ordinata 1.

Possiamo calcolare i coefficienti angolari delle rette tangenti ad f e g in x=\frac 13 grazie alle derivate f' e g'.:

    \[f'(x)=81x^2 \Rightarrow f'(\frac 13)=9\]

    \[g'(x)=\frac 32 \pi cos \left(\frac 32 \pi x\right ) \Rightarrow g'(\frac 13)=0.\]

 

Pertanto la retta r ha equazione:

    \[y-1=9(x-\frac 13) \Rightarrow y=9x-2\]

la retta s ha equazione:

    \[y-1=0.\]

Osserivamo che la retta s è parallela all’asse x, pertanto l’angolo richiesto è uguale all’angolo \alpha che la retta r forma con l’asse delle x. Sappiamo che la tangente di tale angolo è uguale al coefficiente angolare della retta r, dunque:

    \[tg \alpha=9 \Rightarrow \alpha=arctg(9)=83^\circ 40'\]

 

 

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