Problema 2.3 P.N.I. 2012

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Siano f e g le funzioni definite da f (x)=e^x e g(x)=ln x.

 

Fissato x_0 > 0, si considerino le rette r e s tangenti ai grafici di f e di g nei rispettivi punti di ascissa x_0. Si dimostri che esiste un solo x_0 per il quale r e s sono parallele. Di tale valore x_0 si calcoli un’approssimazione arrotondata ai centesimi.

 

Consideriamo f'(x)=e^x e g'(x)=\frac 1x. Le rette tangenti a f e g in x_0 sono rispettivamente:

y-e^{x_0}=e^{x_0}(x-x_0)  e y-log(x_0)=\frac {1}{x_0}(x-x_0).

I coefficienti angolari di queste due rette sono e^{x_0} e \frac {1}{x_0}.

Cerchiamo i valori di x_0 tali che e^{x_0}=\frac {1}{x_0} e quindi che le rette siano parallele.

Tracciando il grafico ci accorgiamo che il punto x_0 è unico.

Troviamolo approssimativamente con il metodo di bisezione:

    \[\frac 12 <x<1 \quad \begin{cases} h(1)=e \\ h(\frac 12)= 1,64 \end{cases} \quad \begin{cases} k(1)=1 \\ k(\frac 12)=2 \end{cases}\]

    \[\frac 12 <x<\frac 34 \begin{cases} h(\frac 34)=2,117 \\ h(\frac 12)= 1,64 \end{cases} \quad \begin{cases} k(\frac 34)=1,333 \\ k(\frac 12)=2 \end{cases}\]

    \[\frac 12 <x<\frac 58 \begin{cases} h(\frac 58)=1,868 \\ h(\frac 12)= 1,64 \end{cases} \quad \begin{cases} k(\frac 58)=1,6 \\ k(\frac 12)=2 \end{cases}\]

    \[\frac {9}{16} <x<\frac 58 \begin{cases} h(\frac 58)=1,868 \\ h(\frac {9}{16})= 1,755 \end{cases} \quad \begin{cases} \quad k(\frac 58)=1,6 \\ k(\frac {9}{16})=1,77 \end{cases}\]

    \[\frac {9}{16} <x<\frac {19}{32} \begin{cases} h(\frac {19}{32})=1,810 \\ h(\frac {9}{16})= 1,755 \end{cases} \quad \begin{cases} \quad k(\frac {19}{32})=1,684 \\ k(\frac {9}{16})=1,77 \end{cases}\]

    \[\frac {9}{16} <x<\frac {37}{64} \begin{cases} h(\frac {37}{64})=1,782 \\ h(\frac {9}{16})= 1,755 \end{cases} \quad \begin{cases} \quad k(\frac {37}{64})=1,72 \\ k(\frac {9}{16})=1,77 \end{cases}\]

    \[\frac {9}{16} <x<\frac {73}{128} \begin{cases} h(\frac {73}{128})=1,768 \\ h(\frac {9}{16})= 1,755 \end{cases} \quad \begin{cases} \quad k(\frac {73}{128})=1,753 \\ k(\frac {9}{16})=1,77 \end{cases}\]

    \[\frac {145}{256} <x<\frac {73}{128} \begin{cases} h(\frac {73}{128})=1,768 \\ h(\frac {145}{256})= 1,761 \end{cases} \quad \begin{cases} \quad k(\frac {73}{128})=1,753 \\ k(\frac {145}{256})=1,765 \end{cases}\]

    \[\frac {145}{256} <x<\frac {291}{512} \begin{cases} h(\frac {291}{512})=1,765 \\ h(\frac {145}{256})= 1,761 \end{cases} \quad \begin{cases} \quad k(\frac {291}{512})=1,759 \\ k(\frac {145}{256})=1,765 \end{cases}\]

Quindi:

    \[\frac {145}{256} <x<\frac {291}{512}.\]

    \[0,566<x<0,568.\]

 

 

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